基金项目:国家自然科学基金(51605378); 中国博士后科学基金(2016M592814); 陕西省自然科学基金(2015JQ5159); 西安科技大学博士启动基金(2015QDJ025); 西安科技大学培育基金(2014030)
通讯作者:彭先龙(1982-),男,安徽安庆人,博士,讲师,E-mail:pxlish@126.com
(llege of Mechanical and Engineering,Xi'an University of Science and Technology,Xi'an 710054,China)
DOI: 10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2017.0120
为了面齿轮的切削、磨削刀具通用化,研究了格林森平面刀具加工面齿轮的数控方法。在获得平面刀具理论运动规律的基础上,简述了格林森数控机床系统的运动自由度,建立了数控系统的坐标系,通过坐标变换、运动等价要求及啮合方程建立了数控系统的运动规律和面齿轮数控加工模型,为降低原理性和数控齿面综合偏差,进一步建立了减小齿面误差的敏感矩阵模型,以修正机床运动规律。齿面仿真结果表明算例中平面刀具加工面齿轮的原理性误为-1.052 mm,相对平面刀具的理论加工方法,数控加工齿面偏差为-12.77 μm,修正机床运动规律后,综合齿面偏差降低到了-626.3 μm.因此应用敏感矩阵法有利于降低平面刀具加工面齿轮的综合齿面误差和优化机床运动规律。
In order to universalize the tool for face gear cutting and grinding,the CNC method that applying the Gleason works' plane-cutter in face gear manufacturing was investigated.Based on obtaining principle motion rules of the plane-cutter,the freedom of the Gleason works' CNC machine was summarized,the coordinate system of the CNC machine was established,the CNC machine motion rule and the generated face gear tooth surface were derived by coordinate transformation,requirement of motion equivalence and meshing equation.For the purpose of decreasing the surface composite deviation of principle and CNC,the model of sensitivity matrix for reducing the deviation was further derived to correct the CNC motion rule.The simulation of the tooth surface demonstrates that:in the numerical example,the principle deviation of the face gear tooth surface generated by the plane-cutter is-1.052 mm,comparing to the theoretical method by plane-cutter,the surface deviation generated by CNC method is-12.77 um,after the correction of the CNC motion rule,the composite deviation is reduced to-626.3 um.Hence,the application of the sensitivity matrix contributes to decrease the composite deviation of the face gear tooth surface generated by the plane-cutter and optimizes the CNC motion rule of the machine tool.
面齿轮传动是一种渐开线圆柱齿轮与锥齿轮啮合的传动机构,相较于弧齿锥齿轮有很多优势[1],可广泛应用于航空、机器人的传动系统中。面齿轮的传统制造方法是基于圆柱齿轮与其啮合的模拟。导致插齿、滚切、磨齿、铣齿[2-7]等加工方法中的刀具都必须复制圆柱齿轮的理论齿廓。换言之改变面齿轮传动的参数,就必须重新设计刀具。这既不利于刀具的序列化和标准化,又在具体应用中耗时、费力、增加刀具制造成本。唐进元教授提出的插铣齿方法[8]避开了这一问题,其意义在于小批量加工。
采用平面刀具粗切、磨齿加工面齿轮具有很好的应用前景。例如刀具可标准化; 产形面为平面,若为砂轮,修整简便; 对任意参数的面齿轮都可以进行加工,不存在奇异点; 采用大半径刀具,不需齿向进给,切削效率高。
格林森于2010年在其公司网站上公布了平面刀具加工面齿轮的技术[9],并于2012年获得美国专利[10]。国内毛世民教授基于格林森技术,提出了预控面齿轮传动啮合性能的构想[11]。然而这3篇文献除了提及非定常滚比之外,并未对刀具的其他运动规律做详细说明。
首先提出平面刀具加工面齿轮的理论方法,然后建立这种加工方法的数控模型,通过模拟仿真计算理论和数控齿面的偏差,应用敏感矩阵法降低被加工齿面的原理性和数控综合误差,解敏感性方程,以获得数控规律多项式系数的修正量。
为了便于说明齿面偏差,引入3个符号:传统插齿加工的面齿轮理论齿面[1]、平面刀具理论(不同于面齿轮传统插齿加工,传动插齿中,实际加工用的是实体插齿刀,模拟仿真也称其为插齿刀。平面刀具加工面齿轮,实际的切削刀具是平面刀具,但是在平面刀具的运动中形成了非实体插齿刀,即刀具产形面与理论上的假想中的插齿刀的渐开线处处相切,这种理论上的假想插齿刀称为产形轮。由于平面刀具加工面齿轮不可避免原理性误差,导致产形轮与面齿轮是局部共轭的,因此产形轮和与面齿轮啮合的小轮的参数完全相同。)与数控展成齿面分别为:RS2,RP2和RC2.
图1所示为平面刀具的定义,在其横截面上由直线和圆弧组成,分别用来展成面齿轮的工作齿面和过渡曲面,文中以工作齿面为主要论述对象,过渡曲面采用相同的步骤即可。刀具位矢可以表示为
Rg=[(-uu0+uu)sinθ(-uu0+uu)cosθ 0 1]T,(1)
单位法矢为
ng=[0 0 -1 0]T.(2)
式中 uu0是刀具的平均半径; uu,θ是刀具圆平面参数。图1中u,θ是圆弧曲面参数; uu*定义了圆弧与直线的切点; ρ为圆弧的曲率半径。坐标系Sa,Sg分别用来定义刀具的产形线和刀具的曲面。
图2所示为所用的坐标系,描述了平面刀具与面齿轮之间的相对位置与运动关系。另一方面这些坐标系阐明了平面刀具加工面齿轮的抽象(理论)方法。其三为数控机床运动参数的确定奠定了基础。
坐标系Sg,S2分别与平面刀具和面齿轮固联,其他坐标系Sb,c,d,m,p为辅助坐标系,Sm,p与机床固联。图中zg为平面刀具的轴线,刀具绕该轴线高速自转以切削工件。zd为产形轮轴线,平面刀具绕此轴线旋转的转角为φg,面齿轮绕自身轴线z2的旋转的转角为φ2,这两转动为加工面齿轮的展成运动。常数α,wt,rps,γ分别为产形轮压力角、齿槽宽、分度圆半径和面齿轮传动的轴夹角,L0=(L1+L2)/2,L1,L2分别为面齿轮的内径和外径。
在加工过程中,总共有3个运动,分别为:平面刀具的转角φg,面齿轮的转角φ2,平面刀具的附加位移Xs,他们之间的关系由下式表示。
φ2=a0+a1φg+a2φ2g+…+anφng
Xs=b0+b1φg+b2φ2g+…+bnφng}.(3)式中 ai,bi(i=0,1,…,n)分别为待确定的高阶滚比、附加运动系数,n为阶数。实际上式(3)集成了如下2个展成运动:平面刀具展成产形轮,平面刀具的平移与转角分别为Xs,Δφs; 产形轮展成面齿轮; 产形轮与面齿轮的转角分别为φs,φ2.由于平面刀具先平移Xs且旋转Δφs模拟产形轮,然后随同产形轮转过转角φs以切削面齿轮,因此平面刀具的总转角是这2个转角的叠加,即:φg= Δφs+φs,并伴有平移Xs.
为确定式(3)中的系数,首先在面齿轮齿面上选一系列的点作为插齿刀与面齿轮齿面的接触路径,然后将这一系列点对应的4个参数Xs,Δφs,φs,φ2求出,最后采用最小平方拟合即可确定式(3)中的系数,在此不再赘述。对于给定参数(表1)的面齿轮传动[12],这些系数(n=6)见表2.
平面刀具在S2中的曲面族为
RP2(uu,θ,φg)=M2p(φ2)Mpm(γ,L0)·Mmd(φg)Mdc(Xs,rps)Mcb(wt,α)·Mbg(uu0)Rg(uu,θ)=M2gRg(uu,θ),(4)
式中 M2g为从Sg到S2的坐标变换,其他矩阵M2p-bg及下文类似矩阵与此类同。曲面族的法矢为
nP2(uu,θ,φg)=M2gng(uu,θ),(5)
面齿轮是该曲面族的包络,联立曲面族方程(4)和啮合方程(6)可确定该包络,式中v22g是表示在坐标系S2中的平面刀具g相对面齿轮2的相对速度。在求M2g对t的导数时,需要注意式(3)的函数关系。
f 22g(uu,θ,φg)=nP2·v22g=nP2·
((M2g)/(φg)(dφg)/(dt)Rg)=0,(6)
且将齿面偏差定义为
ΔRij=ni2·(Ri2-Rj2).(7)
式中 i=s,P,j=P,C分别指明齿面RS2,RP2和RC2; ni2为对应齿面的法矢。
被加工齿面RP2如图3所示,其中黑线为由标准插齿刀(或产形轮)展成的理论齿面RS2,红线为平面刀具展成的齿面RP2.RP2相对RS2的最大齿面偏差为-1.052 mm,尽管该齿面RP2与标准渐开线齿轮啮合的“准共轭”特性明显,但是接触椭圆的长度只有理论齿面的一半,这会引起较大的接触与弯曲应力。一方面期望采用数控方法加工面齿轮,另一方面期望减小齿面偏差,文中针对这2方面进行研究。
图3 齿面RS2,RP2之间的偏差
Fig.3 Deviation between RS2 and RP2
图 4所示为格林森数控机床的配置。A轴为工件的旋转轴,C轴为刀具的自转轴,与展成运动无关,B轴为展成运动旋转轴。平移X为齿高方向的进给运动,由于采用平面刀具一次只能加工一侧齿面,当一侧的所有齿面加工完毕,工件沿Y向运动(图示向上移动2L0,L0为面齿轮的中径),以加工另一侧齿面,Z向运动在文献[9-10]中没有详细说明,显然在文中中,Z向运动为附加直线运动Xs.
根据机床配置可知,加工齿面或减小齿面偏差可供调整的运动有:旋转A,B,直线运动X,Y,Z.首先通过运动等价法确定这些运动的多项式系数,然后采用敏感矩阵法来修正这些系数。
图 5是根据图4建立的数控系统坐标系。其中Sg与平面刀具固联,Se与机床床身固联,S2与被加工面齿轮固联,其他坐标系Sf,h,k为辅助坐标系。Sg在坐标轴xf上的位移为Z,Sf绕ze的转角为B,Sh在ye,ze方向上的位移分别为X,Y,zh与zk的夹角γm模拟面齿轮传动的轴夹角,为机床常数,Sk绕z2旋转,为工件的转角A.
面齿轮的齿面可以表示为平面刀具产形面的包络。平面刀具产形面在坐标系S2中的曲面族为
RC2(uu,θ,A,B,X,Y,Z)=M2k(A)·Μkh(γm)Mhe(X,Y)Mef(B)Mfg(Z)·Rg(uu,θ)=MC2gRg(uu,θ),(8)
式中上标C表示数控展成加工。
由于在理论加工和数控加工中,刀具的方向和位置是相同的[13-14],因此有下式
MC2g=mc2gij=M2g=m2gij(i=1,2,…,4; j=1,2,…,4),(9)
式中 mC2gij,m2gij分别为坐标变换矩阵MC2g,M2g的元素,通过对这两矩阵的元素进行比较可得式(10)。
{A=φ2
B=φg-α
X=-m2g34+(m2g14cosA-m2g24sinA)tanB
Y=-L0
Z=(m2g14cosA-m2g24sinA)secB,(10)
由于式中的各个运动参数均为平面刀具转角φg的函数,在φg=0点处,可用泰勒级数式表示为
K=c0K+c1Kφg+c2Kφ2g+…+cnKφng,(K=A,B,X,Y,Z).(11)
式(11)中n为机床各主轴运动规律多项式的阶数,由机床的精度决定,现代机床一般取n=6.此处的啮合方程类似于式(6),即
f 2C2g(uu,θ,φg)=nC2·v2C2g=nC2·((MC2g)/(dt)Rg)=0,(12)
式中 v2C2g为数控加工方法C中,在坐标系S2中的平面刀具g相对面齿轮2的相对速度,nC2为数控加工所获得齿面的齿面法矢,为
nC2(uu,θ,φg)=MC2gng(uu,θ).(13)
利用式(10)和式(11)可以确定数控机床各主轴运动规律多项式的各阶系数,见表3.由表3可知:面齿轮与平面刀具的转角函数依然由高阶滚比函数确定; 平面刀具的转角常数为0.436 rad,即在面齿轮的节锥面上,平面刀具的转角等于压力角; 机床的Y向位置为一常数; 机床的X,Z向运动是比较复杂的复合运动,并且Z向运动不再与式(3)的附加高阶运动规律相同。
将表3的系数代入式(12),并进一步将这些运动规律代入式(8),联立求解式(8)和式(12)可以对数控方法进行模拟,获得数控加工齿面RC2.利用式(7)可以获得RP2,RC2之间的偏差,如图6所示。由图6可知,最大偏差为12.77 μm,位于内径齿根处,最小偏差为9.74 μm,位于外径齿顶处。此处的偏差说明了2个问题:①相对平面刀具加工面齿轮的理论方法,数控加工齿面偏差很小,即反映了数控规律的正确性; ②RP2相对RS2偏差(图3)较大,即原理性偏差较大。因此要减小被加工面齿轮的偏差,主要减小原理性偏差。
图6 齿面RP2,RC2之间的偏差
Fig.6 Deviation between RP2 and RC2
敏感矩阵法被广泛的应用于弧齿锥齿轮[15],准双曲面齿轮[16]、圆柱齿轮传动中[17-18],用来修正、修形齿面。因此文中应用这种方法来进一步优化机床运动参数以综合降低原理性和数控偏差。
将式(11)中的各轴运动规律的多项式系数代入式(10),并将这些系数看作为变量,则式(8)可写成
RC2(uu,θ,A,B,X,Y,Z)=RC2(uu,θ,cj,φg),(14)
式中 j=1=0A,=2=1A,…,=q=nZ,q为多项式系数的总个数。当式(14)中的变量有增量Δuu,Δθ,Δcj,Δφg时,根据微分几何,RC2的变化为
ΔRC2=(RC2D)/(uu)Δuu+(RC2D)/(θ)Δθ+(RC2D)/(φg)Δφg+(RC2D)/(cj)Δcj.(15)
式中 D=(uu,θ,ci,φg),由于上式第一、二项的矢量与法矢nC2垂直,而第三项点乘nC2则为啮合方程,因此齿面法向的改变量为
δ=nC2·ΔRC2=qj=1((nC2·RC2D)/(cj)Δcj),(16)
如图6所示,在齿高和齿宽方向将齿面分为λ= 9,τ= 13条网格线,形成λ×τ=η个网格点,则各个网格点的法向齿距变化与Δcj的关系可表示为
[δ1
δη]=δ=[(nC21RC21)/(c1)…(nC21RC21)/(cq)
(nC2ηRC2η)/(c1)…(nC2ηRC2η)/(cq)][Δc1
Δcq]=SΔc,(17)
式中S称为敏感矩阵,表达了数控运动规律系数单位变化所引起的齿面网格点法向齿距的变化。若网格点修正量向量由下式定义为
δCS=nC2i·(RC2i-RS2i)(i=1,2,…,η),(18)
则数控规律多项式系数的最小平方拟合修正量可以确定为
Δc=(STS)-1STδCS,(19)
图7是按式(17),并设增量Δcj= 0.001的条件下建立的敏感矩阵的一部分,其中A,B轴数控运动规律多项式系数对齿面偏差的影响非常大,X,Z轴多项式低阶系数对齿面偏差的影响较小,Z轴对齿面偏差的影响为0.根据该矩阵元素的差别可知,该矩阵是病态的。一般采用奇异值分解法(SVD)求解病态方程,如下式所示。
Δcq×l=ti=11/(σi)viq×luTiq×lδCSq×l,(20)
式中 σi(i=1,2,…r≥t)是矩阵S的r个奇异值; r为该矩阵的秩; t为当σi≤ξ时σi的下标i; ξ为σi的阀值,只有舍弃小于ξ的奇异值,式(20)的解才是稳定和收敛的。S的奇异值分解矩阵可以用式(21)表示。式中U,V均为正交矩阵; Γ为由σi组成的对角阵。这3个矩阵可用MATLAB提供的svd函数获得。vi,ui分别为V,U的第i列向量。
Sη×q=Uη×qΓη×qVTη×q.(21)
由于阀值不能直接确定,可以根据奇异值的大小先选择较大阀值,然后迭代式(17)(20)直到齿面偏差无变化,则选择一个更小的阀值进行迭代,当某一阀值使齿面偏差愈来愈大时,则这一阀值的前一个阀值是最小阀值。
图8是按上述方式进行计算的结果,当阀值选择为100时,RC2相对RS2的齿面偏差变得有正有负(图8(a)),偏差为正表明法向齿距增大,负反之。图8(b)表明正值偏差减小到可以忽略,负值偏差有一定程度的减小,但是还没有减小到理想水平。遗憾的是当阀值小于1时,计算结果不再收敛,也就是说采用敏感矩阵法来减小齿面偏差,图8(b)所示的齿面偏差已经达到了最小值。表4是此时数控运动规律的修正量,数控规律也达到了最优化。
图7 平面刀具数控加工面齿轮的部分敏感矩阵
Fig.7 A part of the sensitivity matrix of the face gear generated by plane cutter in CNC method
图8 数控规律多项式系数修正后RC2相对RS2的齿面偏差
Fig.8 Deviation of RC2 respecting with RS2 after correction of the CNC motion rule
如果需要进一步减小齿面偏差则必须考虑平面刀具与被加工齿面的接触线(图9所示星号标记的线),由于刀具的产形面为一平面,因此两者的接触线为空间直线,与此线对应的理论齿面上的线为一空间曲线,如图9圈号标记。若这2类线能够彼此重合,则齿面偏差将会减小。有如下3种种情况。
首先无论数控运动规律多项式系数如何改变,只要这些系数是定量的且不随刀具转角变化,在某一刀具转角下,刀具与被加工齿面的空间直线接触特性不会改变,因此通过前期的刀具理论运动规律的最小平方拟合,以及文中的数控规律敏感矩阵法修正,刀具数控运动规律已达到最优。
其次若要通过刀具运动的调整来实现齿面的精确加工,刀具在某一转角下,沿此时的接触线刀具须有一系列较小的角度补偿,实现点接触加工,这将要牺牲加工效率。
其三比较图9的星号线和圈号线可知两者的差别很小,若将刀具的产形线改为具有一定曲率的平面曲线(极限情况是标准渐开线,此时式(3)的第一式只需要满足理论传动比,第二式不需要),促使图9中星号、圈号线重合,齿面偏差将会急剧减小。
探索了平面刀具加工面齿轮的数控方法,仿真表明
1)与平面刀具理论方法展成的齿面相比,数控齿面的偏差较小,表明了数控规律的正确性;
2)应用敏感矩阵法可以有效地降低被加工齿面的综合偏差,获得优化机床运动规律;
3)从接触特性角度考虑,改变刀具产形线的设计有望降低齿面综合偏差。